分析:(I)作出題中不等式組表示的平面區(qū)域,得如圖的△ABC及其內(nèi)部,再將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移,觀察y軸上的截距變化,即可得到n=2x+y的最大值與最小值;
(II)
w=表示Q(-4,0)、P(x,y)連線的斜率,觀察圖形并利用斜率與傾斜角的關(guān)系求出PQ斜率的最值,即可得到w的最大值與最小值;
(III)設(shè)M(-2,-2),P(x,y)為區(qū)域內(nèi)的動點,可得|MP|
2=(x+2)
2+(y+2)
2,表示M、P兩點距離的平方之值.運動點P并加以觀察可得|MP|的最小值,即可得到z=(x+2)
2+(y+2)
2的最小值.
解答:解:作出不等式組
表示的平面區(qū)域,
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,
其中A(-2.5,2.5),B(3,-3),C(3,8),
(I)設(shè)n=F(x,y)=2x+y,將直線l:n=2x+y進(jìn)行平移,
觀察y軸上的截距變化,可得:
當(dāng)l經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)n達(dá)到最小值;
當(dāng)l經(jīng)過點C時,目標(biāo)函數(shù)n達(dá)到最大值.
∴n
最小值=F(-2.5,2.5)=-2.5;
n
最大值=F(3,8)=14.
(II)設(shè)Q(-4,0),P(x,y)為區(qū)域內(nèi)的動點,
可得
w=表示直線PQ的斜率,運動點P可得:
當(dāng)P與B點重合時,k
PQ=
=-
為最小值;當(dāng)P與A重合時,k
PQ=
=
為最大值.
∴
w=的最大值為
,最小值為-
;
(III)設(shè)P(x,y)為區(qū)域內(nèi)一個動點,M(-2,-2),
則|MP|
2=(x+2)
2+(y+2)
2,表示M、P兩點距離的平方之值.
當(dāng)P與M在AB上的射影重合時,|MP|=
=2
達(dá)到最小值,
可得|OP|
2的最小值為(2
)
2=8,
∴z=(x+2)
2+(y+2)
2的最小值為8.