Question

已知x、y滿足約束條件

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3

，
（Ⅰ）求n=2x+y的最大值與最小值；
（Ⅱ）求w=

y

x+4

的最大值與最小值；
（Ⅲ）求z=（x+2）²+（y+2）²的最小值．

Answer 1

分析：（I）作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，觀察y軸上的截距變化，即可得到n=2x+y的最大值與最小值；
（II）w=

y

x+4

表示Q（-4，0）、P（x，y）連線的斜率，觀察圖形并利用斜率與傾斜角的關(guān)系求出PQ斜率的最值，即可得到w的最大值與最小值；
（III）設(shè)M（-2，-2），P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動點，可得|MP|²=（x+2）²+（y+2）²，表示M、P兩點距離的平方之值．運動點P并加以觀察可得|MP|的最小值，即可得到z=（x+2）²+（y+2）²的最小值．

解答：解：作出不等式組

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3

表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（-2.5，2.5），B（3，-3），C（3，8），
（I）設(shè)n=F（x，y）=2x+y，將直線l：n=2x+y進(jìn)行平移，
觀察y軸上的截距變化，可得：
當(dāng)l經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)n達(dá)到最小值；
當(dāng)l經(jīng)過點C時，目標(biāo)函數(shù)n達(dá)到最大值．
∴n_最小值=F（-2.5，2.5）=-2.5；
n_最大值=F（3，8）=14．
（II）設(shè)Q（-4，0），P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的動點，
可得w=

y

x+4

表示直線PQ的斜率，運動點P可得：
當(dāng)P與B點重合時，k_PQ=

-3

3+4

=-

3

7

為最小值；當(dāng)P與A重合時，k_PQ=

2.5

-2.5+4

=

5

3

為最大值．
∴w=

y

x+4

的最大值為

5

3

，最小值為-

3

7

；
（III）設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個動點，M（-2，-2），
則|MP|²=（x+2）²+（y+2）²，表示M、P兩點距離的平方之值．
當(dāng)P與M在AB上的射影重合時，|MP|=

|-2-2|

2

=2

2

達(dá)到最小值，
可得|OP|²的最小值為（2

2

）²=8，
∴z=（x+2）²+（y+2）²的最小值為8．

點評：本題著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式、兩點間的距離公式與點到直線的距離公式和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．