Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象在y軸上的截距為1，在相鄰兩最值點（x₀，2）（x₀+$\frac{3}{2}$，-2）（x₀＞0）上分別取得最大值和最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）=a（1＜a＜2），在[0，9]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）由題意得f（0）=1，f（x）的最大值等于2，周期的一半等于$\frac{3}{2}$，列出方程組解出A，ω，φ，
（2）作出f（x）的函數(shù)圖象可發(fā)現(xiàn)所有的實根都兩兩關(guān)于對稱軸對稱，根據(jù)對稱的性質(zhì)得出實數(shù)根的和．

解答 解：（1）∵f（x）在相鄰兩最值點（x₀，2），（x₀+$\frac{3}{2}$，-2）（x₀＞0）上分別取得最大值和最小值，
∴A=2，$\frac{2π}{ω}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得ω=$\frac{2}{3}$π，
∵f（x）的圖象在y軸上的截距為1，∴f（0）=2sinφ=1，sinφ=$\frac{1}{2}$．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知當1＜a＜2時，y=a與f（x）圖象有6個交點，他們分別關(guān)于f（x）的三條對稱軸對稱，
∴f（x）=a在[0，9]內(nèi)的所有實根之和等于$\frac{1}{2}×2$+$\frac{7}{2}×2$+$\frac{13}{2}$×2=21．

點評 本題考查了三角函數(shù)解析式的求解，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作出函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．