Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)

求橢圓C的方程；

若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)在直線上，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）利用已知的性質(zhì)離心率得到a,c比例關(guān)系，同時(shí)要結(jié)合過(guò)點(diǎn)，得到橢圓的方程。

（2）中利用由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：

與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量關(guān)系式得到k的關(guān)系式，借助于均值不等式求解最值。

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)殡x心率為，，

所以--------------2分

設(shè)橢圓方程為又點(diǎn)在橢圓上，--------------3分

所以橢圓方程為--------------4分

（2）由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：

由得

，得：，即-------6分

設(shè)，

,，顯然時(shí)；當(dāng)時(shí)，

，-------8分

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上所以

即-------9分

因?yàn)?/span>

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（因?yàn)?/span>）

-------11分

綜上：-------12分