Question

已知函數(shù)f（x）=，其中a∈R．若對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則k的取值范圍是________．

Answer 1

（-∝，0]∪[8，+∝）
分析：由于函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，且對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0時，f（x）=k（1-a²），進而得到，關于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有實數(shù)解，即得△≥0，解出k即可．
解答：由于函數(shù)f（x）=，其中a∈R，
則x=0時，f（x）=k（1-a²），
又由對任意的非零實數(shù)x₁，存在唯一的非零實數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0附近的左右兩側函數(shù)值相等，
∴（3-a）²=k（1-a²）即（k+1）a²-6a+9-k=0有實數(shù)解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k≤0或k≥8
故答案為 （-∞，0]∪[8，+∞）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，通過圖象比較函數(shù)值的大小，數(shù)形結合有助于我們的解題，形象直觀．