Question

已知函數(shù)f(x)=

a

2

x2+(a+1)x+2ln(x-1)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求出這條切線的方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對(duì)于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

，得切線斜率為k=f'（2）=2a+3，據(jù)題設(shè)，k=2，所以a=-

1

3

，故有f(2)=

2

3

，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）由f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

=

ax2+x-a+1

x-1

=

(x+1)(ax-a+1)

x-1

(x＞1)，知當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x+1

x-1

，由于x＞1，所以f′(x)=

x+1

x-1

＞0，由此能夠討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）當(dāng)a≥0時(shí)，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅱ）知f(x)max=f(

a-1

a

)=

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)．故只需

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)＜-2，即3a+2-

1

a

＜4ln(-a)．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

，
得切線斜率為k=f'（2）=3a+3，（2分）
據(jù)題設(shè)，k=2，所以a=-

1

3

，故有f(2)=

2

3

，（3分）
所以切線方程為y-f（2）=2（x-2），
即6x-3y-10=0，（4分）
（Ⅱ）f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

=

ax2+x-a+1

x-1

=

(x+1)(ax-a+1)

x-1

(x＞1)
當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x+1

x-1

，
由于x＞1，所以f′(x)=

x+1

x-1

＞0，
可知函數(shù)f（x）在定義區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，（6分）
當(dāng)a≠0時(shí)，f′(x)=

a(x+1)(x- a-1 a )

x-1

，
若a＞0，則

a-1

a

＜1，
可知當(dāng)x＞1時(shí)，有f'（x）＞0，
函數(shù)f（x）在定義區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，（8分）
若a＜0，則

a-1

a

＞1，
得當(dāng)x∈(1，

a-1

a

)時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈(

a-1

a

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0．
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間(1，

a-1

a

)上單調(diào)遞增，
在區(qū)間(

a-1

a

，+∞)上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是定義區(qū)間（1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(1，

a-1

a

)，減區(qū)間為(

a-1

a

，+∞)，（10分）
（Ⅲ）當(dāng)a≥0時(shí)，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；
當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅱ）知f(x)max=f(

a-1

a

)=

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)．
故只需

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)＜-2，即3a+2-

1

a

＜4ln(-a)．（11分）
令t=-a，則不等式為-3t+2+

1

t

＜4lnt，且t＞0．
構(gòu)造函數(shù)g(t)=4lnt+3t-2-

1

t

(t＞0)，
則g′(t)=

4

t

+3+

1

t2

＞0，
知函數(shù)g（t）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)間（1）=4ln1+3-2-1=0，所以當(dāng)t＞1時(shí)，g（1）＞0，
這說(shuō)明不等式-3t+2+

1

t

＜4lnt(t＞0)的解為t＞1，即得a＜-1．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．