Question

利用兩個(gè)相同的噴水器，修建一個(gè)矩形花壇，使花壇全部都能噴到水．已知每個(gè)噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓，問(wèn)如何設(shè)計(jì)（求出兩噴水器之間的距離和矩形的長(zhǎng)、寬），才能使矩形花壇的面積最大？

Answer 1

分析：先畫出幾何圖，再設(shè)AD=xm，則PQ=AD=xm，這樣可表示出O₁E，O₁O₂，可得到AB，最后表示出矩形的面積S_矩形ABCD=x•2

400-x2

，（0＜x＜20），兩邊平方后去根號(hào)，然后利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求出滿足條件的x的值，這樣確定矩形的各邊，得到設(shè)計(jì)方案．

解答：解：如圖，
O₁，O₂是兩個(gè)噴水器的噴水區(qū)域?yàn)榘霃綖閘0米的圓的圓心，ABCD是設(shè)計(jì)的矩形花壇；設(shè)AD=xm，則PQ=AD=xm．
在直角三角形O₁EQ中，O₁E=

O 1Q2-EQ 2

=

102- ( x 2 ) 2

=

1

2

400-x 2

，
∴圓心距O₁O₂=2O₁E=

400-x2

，AB=2O₁O₂=2

400-x2

，
∴S_矩形ABCD=x•2

400-x2

，（0＜x＜20），
∴S²_矩形ABCD=4x²（400-x²）=-4（x²-200）²+160000．
∴當(dāng)x²=200，S²_矩形ABCD有最大值．此時(shí)x=10

2

m，S的最大值為400．
因此符合要求的設(shè)計(jì)是兩個(gè)噴水器的距離為O₁O₂=2O₁E=

400-x2

=

400- 200

=10

2

m，矩形的兩邊長(zhǎng)AD=10

2

m，AB=20

2

m，
矩形花壇的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用及圓周角定理，同時(shí)考查了矩形的性質(zhì)和運(yùn)用二次函數(shù)求最值的方法．