Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（c∈R，n=1，2，3，…）．且S₁，，成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵nS_n+1-（n+1）S_n=n²+cn（n=1，2，3，），
∴（n=1，2，3，）．（1分）
∵S₁，，成等差數(shù)列，
∴．（3分）
∴．（5分）
∴c=1；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（n=1，2，3，）．
∴數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為1的等差數(shù)列．（8分）
∴．
∴S_n=n²．（10分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（12分）
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．（13分）
∴a_n=2n-1（n=1，2，3，）．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知（n=1，2，3，），．所以．由此可得c=1．
（Ⅱ）由題意知（n=1，2，3，）．所以數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為1的等差數(shù)列．由此可推出a_n=2n-1（n=1，2，3，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理選取．