Question

關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁵有下列命題：
①該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；
②該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為C₂₀₀₅⁶x¹⁹⁹⁹；  
③該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1002項(xiàng)；
④當(dāng)x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余數(shù)是2005．
其中正確命題的序號是

①④

．（注：把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析：令x=1求出二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁵所有項(xiàng)的系數(shù)和，令x=0求出常數(shù)項(xiàng)，從而求出非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和，即可判定①的真假；根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出第六項(xiàng)進(jìn)行判定②的真假；根據(jù)二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)可知系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)，可判定③的真假；當(dāng)x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余數(shù)是2006-l=2005，可判定④的真假．

解答：解：令x=1求出二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁵所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，令x=0求出常數(shù)項(xiàng)為-l，非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1，即得①正確；
二項(xiàng)展開式的第六項(xiàng)為C₂₀₀₅⁵x²⁰⁰⁰，即得②錯誤；
二項(xiàng)展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)為

C	2005-1 2 2005

=C₂₀₀₅¹⁰⁰²，-

C	2005+1 2 2005

=-C₂₀₀₅¹⁰⁰³，得系數(shù)最大的項(xiàng)是第1003項(xiàng)C₂₀₀₅¹⁰⁰²•x¹⁰⁰³，即③錯誤；
當(dāng)x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁵除以2 006的余數(shù)是2006-l=2005，即④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，以及特定項(xiàng)以及系數(shù)最大項(xiàng)，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．