過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線被拋物線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為
(I)求p的值;
(II)過(guò)拋物線C上兩點(diǎn)A,B分)別作拋物線C的切線l1,l2
(i)若l1,l2交于點(diǎn)M,求直線AB的方程;
(ii)若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】分析:(I)由已知得點(diǎn)在拋物線x2=2py上,代入得即可求出p的值;
(II)設(shè),直線AB方程為y=kx+b.將直線的方程代入拋物線的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.
(i)由題意得M(4,2)是l1與l2的交點(diǎn),從而解決問(wèn)題.
(ii)由題意得M(4,2)在直線AB上,故4k+b=2,且x1+x2=4k,x1•x2=16k-8,涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題,常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式),從而求得三角形的面積列出方程求得k值,進(jìn)而求點(diǎn)N的坐標(biāo).
解答:解:(I)由已知得點(diǎn)在拋物線x2=2py上,(2分)
代入得8=4p,故p=2.(4分)
(II)設(shè),直線AB方程為y=kx+b.
,
則x1+x2=4k,x1•x2=-4b.(6分)
求導(dǎo)得,
故拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線斜率分別為,
故在A,B點(diǎn)處的切線方程分)別為,
于是l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為,即為(2k,-b).(8分)
(i)由題意得M(4,2)是l1與l2的交點(diǎn),
故直線AB的方程為2x-y-2=0.(9分)
(ii)由題意得M(4,2)在直線AB上,故4k+b=2,且x1+x2=4k,x1•x2=16k-8,
故l1與l2的交點(diǎn)N坐標(biāo)為(2k,4k-2).(11分)

點(diǎn)N到直線AB的距離,
.(13分)

,得k=-1或5,(14分)
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,-6)或(10,18).(15分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、直線的方程、拋物線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、方程思想.涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題,常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線被拋物線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為4
2

(I)求p的值;
(II)過(guò)拋物線C上兩點(diǎn)A,B分)別作拋物線C的切線l1,l2
(i)若l1,l2交于點(diǎn)M,求直線AB的方程;
(ii)若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)點(diǎn)M(4,2)作x軸的平行線被曲線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為4
2

(I)求p的值;
(II)過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•南寧模擬)過(guò)點(diǎn)M(4,2)作X軸的平行線被拋物線C:x2=2py(p>0)截得的弦長(zhǎng)為4
2
(I )求拋物線C的方程;(II)過(guò)拋物線C上兩點(diǎn)A,B分別作拋物線C的切線l1,l2(i)若l1,l2交點(diǎn)M,求直線AB的方(ii)若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)S△ABN=28
7
時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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(II)過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,記l1,l2的交點(diǎn)為N,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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