Question

（2012•遼寧）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中，圓C1：x2+y2=4，圓C2：(x-2)2+y2=4
（I）在以圓O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C₁，C₂的極坐標方程，并求出圓C₁，C₂的交點坐標（用坐標表示）；
（Ⅱ）求圓C₁與C₂的公共弦的參數(shù)方程．

Answer 1

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

，以及x²+y²=ρ²，直接寫出圓C₁，C₂的極坐標方程，求出圓C₁，C₂的交點極坐標，然后求出直角坐標（用坐標表示）；
（II）解法一：求出兩個圓的直角坐標，直接寫出圓C₁與C₂的公共弦的參數(shù)方程．
解法二利用直角坐標與極坐標的關(guān)系求出ρ=

1

cosθ

，然后求出圓C₁與C₂的公共弦的參數(shù)方程．

解答：解：（I）由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，x²+y²=ρ²，
可知圓C1：x2+y2=4，的極坐標方程為ρ=2，
圓C2：(x-2)2+y2=4，即C2：x2+y2=4x的極坐標方程為ρ=4cosθ，
解

ρ=2 ρ=4cosθ

得：ρ=2，θ=±

π

3

，
故圓C₁，C₂的交點坐標（2，

π

3

），（2，-

π

3

）．
（II）解法一：由

x=ρcosθ y=ρsinθ

得圓C₁，C₂的交點的直角坐標（1，

3

），（1，-

3

）．
故圓C₁，C₂的公共弦的參數(shù)方程為

x=1 y=t

  -

3

≤t≤

3

（或圓C₁，C₂的公共弦的參數(shù)方程為

x=1 y=y

 -

3

≤y≤

3

）
（解法二）將x=1代入

x=ρcosθ y=ρsinθ

得ρcosθ=1
從而ρ=

1

cosθ

于
是圓C₁，C₂的公共弦的參數(shù)方程為

x=1 y=tanθ

-

π

3

≤θ≤

π

3

．

點評：本題考查簡單曲線的極坐標方程，直線的參數(shù)方程的求法，極坐標與直角坐標的互化，考查計算能力．