Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=5sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+6cos²x+m的最大值為1，求m值及函數(shù)f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡，由三角函數(shù)的最值和周期公式可得．

解答 解：化簡可得f（x）=5sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+6cos²x+m
=5sin²x+5cos²x+cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+m
=5+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+m
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+m+$\frac{11}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+$\frac{11}{2}$
∴函數(shù)的最大值為1+m+$\frac{11}{2}$=1，解得m=-$\frac{11}{2}$，
由周期公式可得f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，屬基礎(chǔ)題．