【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為整數(shù),其前n項和為Sn.規(guī)定:若數(shù)列{an}滿足前r項依次成公差為1的等差數(shù)列,從第r﹣1項起往后依次成公比為2的等比數(shù)列,則稱數(shù)列{an}為“r關聯(lián)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列{an}為“6關聯(lián)數(shù)列”,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在(1)的條件下,求出Sn,并證明:對任意n∈N*,anSn≥a6S6;
(3)已知數(shù)列{an}為“r關聯(lián)數(shù)列”,且a1=﹣10,是否存在正整數(shù)k,m(m>k),使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am?若存在,求出所有的k,m值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(或)
(2)見解析;(3)存在或或或.
【解析】
試題(1)若數(shù)列{an}為“6關聯(lián)數(shù)列”,{an}前6項為等差數(shù)列,從第5項起為等比數(shù)列,可得a6=a1+5,a5=a1+4,且,即,解得a1,即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)由(1)得(或,可見數(shù)列{anSn}的最小項為a6S6=﹣6,即可證明:對任意n∈N*,anSn≥a6S6;
(3),分類討論,求出所有的k,m值.
解:(1)∵數(shù)列{an}為“6關聯(lián)數(shù)列”,
∴{an}前6項為等差數(shù)列,從第5項起為等比數(shù)列,
∴a6=a1+5,a5=a1+4,且,即,解得a1=﹣3
∴(或)
(2)由(1)得(或)
,
{Sn}:﹣3,﹣5,﹣6,﹣6,﹣5,﹣3,1,9,25,…{anSn}:9,10,6,0,﹣5,﹣6,4,72,400,…,
可見數(shù)列{anSn}的最小項為a6S6=﹣6,
證明:,
列舉法知當n≤5時,(anSn)min=a5S5=﹣5;
當n≥6時,,設t=2n﹣5,則.
(3)數(shù)列{an}為“r關聯(lián)數(shù)列”,且a1=﹣10,∵
∴
①當k<m≤12時,由得(k+m)(k﹣m)=21(k﹣m)k+m=21,k,m≤12,m>k,∴或.
②當m>k>12時,由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k,不存在
③當k≤12,m>12時,由,2m﹣10=k2﹣21k+112
當k=1時,2m﹣10=92,mN*;當k=2時,2m﹣10=74,mN*;
當k=3時,2m﹣10=58,mN*;當k=4時,2m﹣10=44,mN*;
當k=5時,2m﹣10=25,m=15∈N*;當k=6時,2m﹣10=22,mN*;
當k=7時,2m﹣10=14,mN*;當k=8時,2m﹣10=23,m=13∈N*;
當k=9時,2m﹣10=22,m=12舍去;當k=10時,2m﹣10=2,m=11舍去
當k=11時,2m﹣10=2,m=11舍去;當k=12時,2m﹣10=22,m=12舍去
綜上所述,∴存在或或或.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設數(shù)列 的前項和為,對一切,點都在函數(shù)的圖象上.
(1)求,歸納數(shù)列的通項公式(不必證明);
(2)將數(shù)列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為,,, ;,,,;,…,分別計算各個括號內各數(shù)之和,設由這些和按原來括號的前后順序構成的數(shù)列為,求的值;
(3)設為數(shù)列的前項積,若不等式對一切都成立,其中,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,且,().
(1)計算,,,,并求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)由數(shù)列的項組成一個新數(shù)列:,,,,,設為數(shù)列的前項和,試求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形,為坐標原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設點在橢圓上,點在直線上,且,求證:為定值;
(3)設點在橢圓上運動,,且點到直線的距離為常數(shù),求動點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,為了持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響.用表示某魚群在第年年初的總量且.不考慮其他因素,設在第年內魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比,死亡量與成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù),,
(1)求與的關系式
(2)若每年年初魚群的總量保持不變,求,,,所應滿足的條件
(3)設,,為保證對任意,都有,則捕撈強度的最大允許值是多少?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設甲乙兩地相距100海里,船從甲地勻速駛到乙地,已知某船的最大船速是36海里/時:當船速不大于每小時30海里/時,船每小時使用的燃料費用和船速成正比;當船速不小于每小時30海里/時,船每小時使用的燃料費用和船速的平方成正比;當船速為30海里/時,它每小時使用的燃料費用為300元;其余費用(不論船速為多少)都是每小時480元;
(1)試把每小時使用的燃料費用P(元)表示成船速v(海里/時)的函數(shù);
(2)試把船從甲地行駛到乙地所需要的總費用Y表示成船速v的函數(shù);
(3)當船速為每小時多少海里時,船從甲地到乙地所需要的總費用最少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,動點到定點的距離與它到直線的距離相等.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設動直線與曲線相切于點,與直線相交于點.
證明:以為直徑的圓恒過軸上某定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a,b是不相等的兩個正數(shù),在a,b之間插入兩組實數(shù):x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,(n∈N*,且n≥2),使得a,x1,x2,…,xn,b成等差數(shù)列,a,y1,y2,…,yn,b成等比數(shù)列,給出下列四個式子:①;②;③;④.其中一定成立的是( 。
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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