Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a1=

1

4

，an+1=Sn+

t

16

(n∈N*)t為常數．
（1）若t=4，求證：數列{a_n}為等比數列；
（2）若t=-3，b_n=log₂a_n+1，數列{b_n}前n項和為T_n，當n取何值時T_n取最小值，并求T_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用n≥2，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n與a_n-1的關系，利用等比數列的定義即可證明；
（2）先判斷：數列{a_n}從第二項起是等比數列．再利用等比數列的通項公式即可判斷其前n項和何時取得最大值與最小值．

解答：解：（ 1）t=4時，an+1=Sn+

1

4

，
n≥2時，an=Sn-1+

1

4

a_n+1=2a_n，
  又a2=

1

2

=2a1≠0，
∴

an+1

an

=2(n∈N*)
∴數列{a_n}是公比為2 的等比數列．
（2）若t=-3，a_n+1=2a_n，但a2≠2a1，且a2=

1

16

．
∴數列{a_n}從第二項起是等比數列．an+1=a2•2n-1=2n-5，
∴bn=log22n-5=n-5．
∴數列{b_n}為等差數列，且b₁，b₂，b₃，b₄＜0，b₅=0，n≥6時，b_n＞0．
∴當n=5或n=4時，T_n取最小值，最小值為-10．

點評：本題考查了“n≥2，a_n=S_n-S_n-1關系”、等比數列的定義、通項公式及其前n項和公式等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．