Question

設(shè)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R滿足f（ab）-af（b）=bf（a），．有下列結(jié)論：
①f（1）=f（0）=0；
②f（x）為偶函數(shù)；
③數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
④數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．其中正確的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

C
分析：給a、b賦值，使它們都等于0，再使它們都等于1，得到結(jié)論①正確；由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函數(shù)；根據(jù)f（ab）-af（b）=bf（a），可得=++…+（共n個）=n，從而f（3ⁿ）=n×3ⁿ，由此可得③④正確．
解答：①∵取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0，∴f（0）=f（1）=0，即①正確；
②∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0，∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函數(shù)．故②不正確；
③∵f（ab）-af（b）=bf（a），∴，∴，
以此類推=++…+（共n個）=n，
∴f（3ⁿ）=n×3ⁿ，∴a_n==n，故③正確．
④b_n==3ⁿ，故④正確．
∴正確的是①③④．
故選C．
點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)知識的綜合運用，解題時應(yīng)用了函數(shù)的賦值法，函數(shù)的奇偶性，等差、等比數(shù)列的定義等知識，要細(xì)心解答．