如圖，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B為圓心、BA為半徑在矩形內(nèi)部作弧，點P是弧上一動點，PM⊥OA，垂足為M，PN⊥OC，垂足為N，則四邊形OMPN的周長的最小值為    ．
【答案】分析：連接BP，設(shè)∠CBP=α，其中0≤α＜，則PM=1-sinα，PN=2-cosα，周長C=6-2（sinα+cosα），再利用三角函數(shù)恒等變換，能求出四邊形OMPN的周長的最小值．
解答：解：連接BP，設(shè)∠CBP=α，其中0≤α＜，
則PM=1-sinα，PN=2-cosα
周長C=6-2（sinα+cosα），
∵（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+sin2α，
∴要讓周長最小，即讓（sinα+cosα）最大，即sin2α最大，
∵sin2α在α=時取到最大值sin2α=1，
∴當(dāng)α=時，周長有最小值6-2．
故答案為：6-2．
點評：本題考查四邊形周長的最小值的求法，具體涉及到圓的簡單性質(zhì)、三角函數(shù)等基本知識，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）如圖，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B為圓心、BA為半徑在矩形內(nèi)部作弧，點P是弧上一動點，PM⊥OA，垂足為M，PN⊥OC，垂足為N，則四邊形OMPN的周長的最小值為
6-2
2
6-2
2
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）如圖，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中點E為圓心、以1為半徑在矩形內(nèi)部作四分之一圓弧CD（其中D為OA中點），點P是弧CD上一動點，PM⊥BC，垂足為M，PN⊥AB，垂足為N，則四邊形PMBN的周長的最大值為
2
2
+2
2
2
+2
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年上海市閔行區(qū)高三上學(xué)期期末質(zhì)量抽測理科數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

如圖，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B為圓心、BA為半徑在矩形內(nèi)部作弧，點P是弧上一動點，，垂足為M，，垂足為N，則四邊形OMPN的周長的最小值為        ．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以BC中點E為圓心、以1為半徑在矩形內(nèi)部作四分之一圓弧CD（其中D為OA中點），點P是弧CD上一動點，PM⊥BC，垂足為M，PN⊥AB，垂足為N，則四邊形PMBN的周長的最大值為    ．

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