Question

（本小題滿分13分）

已知是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，且，若任意的，當(dāng) 時(shí)，總有．

   （1）判斷函數(shù)在[-1,1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

   （2）解不等式：；

   （3）若對(duì)所有的恒成立，其中（是常數(shù)），試用常數(shù)表示實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）在上是增函數(shù)，證明如下：

任取，且，則，于是有，而，故，故在上是增函數(shù)

   （2）．

   （3）由（1）知最大值為，所以要使對(duì)所有的 恒成立，只需成立，即成立．

①當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；

②當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；

③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為R．

 

【解析】（1）在上是增函數(shù)，證明如下：

任取，且，則，于是有，而，故，故在上是增函數(shù)

   （2）由在上是增函數(shù)知：

，

故不等式的解集為．

   （3）由（1）知最大值為，所以要使對(duì)所有的 恒成立，只需成立，即成立．

①當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；

②當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；

③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為R．