Question

（2012•吉林二模）已知：P(

3

2

，

1

2

)、Q(cosα，sinα)(α∈(

π

2

，π))是坐標平面上的點，O是坐標原點．
（Ⅰ）若點Q的坐標是(-

3

5

，m)，求cos(a-

π

6

)的值；
（Ⅱ）設函數(shù)f(α)=

OP

•

OQ

，求f（a）的值域．

Answer 1

分析：（I）由已知條件，可得sinα和cosα的值，再結(jié)合兩角差的余弦公式，可算出cos(α-

π

6

)的值；
（II）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標公式和兩角差的余弦公式，可得f（α）=cos（α-

π

6

），再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)f（α）=的值域．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件，得cosα=-

3

5

，m=sinα=

4

5

．…（3分）
所以cos(α-

π

6

)=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=-

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4-3 3

10

．…（6分）
（Ⅱ）f(α)=

OP

•

OQ

=cos

π

6

cosα+sin

π

6

sinα=cos（α-

π

6

） …（9分）
因為α∈(

π

2

，π)，則α+

π

6

∈(

π

3

，

5π

6

)，
∴-

3

2

＜cos(α+

π

6

)＜

1

2

．
故f（α）的值域是(-

3

2

，

1

2

)．…（12分）

點評：本題以平面向量的數(shù)量積坐標運算為載體，著重考查了兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎題．