Question

已知函數(shù)f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）
（Ⅰ）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值
（Ⅱ）求證：對(duì)于任意正整數(shù)n均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)2

n!

，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，是否存在過(guò)點(diǎn)（1，-1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，對(duì)a進(jìn)行討論，確定函數(shù)f（x）的定義域，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（Ⅱ）取a=2，證明

1

x

≥

1

2

ln

2e

x

（x＞0），取x=1，2，3…，n，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的切線，確定切線方程，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入，再構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，即可的符合條件的切線．

解答：（Ⅰ）解：由題意f′(x)=

x-a

x2

．      …（1分）
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），此時(shí)函數(shù)在（0，a）上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)，
故fmin(x)=f(a)=lna2，無(wú)最大值． …（3分）
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0），此時(shí)函數(shù)在（-∞，a）上是減函數(shù)，在（a，0）上是增函數(shù)，
故fmin(x)=f(a)=lna2，無(wú)最大值．…（5分）
（Ⅱ）證明：取a=2，由（Ⅰ）可知：f(x)=ln2x-

x-2

x

≥f(2)=2ln2，
故

2

x

≥1+ln4-ln2x=ln

2e

x

，∴

1

x

≥

1

2

ln

2e

x

，（x＞0）
取x=1，2，3…，n，則1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥

1

2

ln

(2e)n

n!

．…（10分）
（Ⅲ）解：假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)T（x0，lnx0-

x0-1

x0

），
∴切線方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，將點(diǎn)T坐標(biāo)代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

，
即lnx0+

3

x0

-

2

x02

-1=0，…①
設(shè)g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，則g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．
∵x＞0，∴g（x）在區(qū)間（0，1），（2．+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，
故g（x）_極大值=g（1）=1＞0，g（x）_極小值=g（2）=ln2+

1

4

＞0．
又g(

1

3

)=ln

1

3

+9-9-1=-ln3-1＜0，（也可以求g(

1

4

)等等）
注意到g（x）在其定義域上的單調(diào)性，知g（x）=0僅在(

1

3

，1)內(nèi)有且僅有一根
方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，考查曲線的切線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．