Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞0}，并且滿足：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞2；?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）-f（x₁）-f（x₂）+2
（1）求f（1）
（2）求證函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）當(dāng)f（2）=5時(shí)，求不等式f（x）＜17的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=x₂=1，則f（1）=1或2，檢驗(yàn)得到f（1）不成立，f（1）=2；
（2）令1＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由于當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞2，則有f（

x2

x1

）＞2，則f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）再由條件即可得到得證；
（3）令x₁=x₂=2，則f（4）=17，不等式f（x）＜17即為f（x）＜f（4），同（2）可得（0，1）也為增區(qū)間，故f（x）在（0，+∞）遞增，即可解出不等式．

解答： （1）解：?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）-f（x₁）-f（x₂）+2，
則令x₁=x₂=1，則f（1）=f²（1）-2f（1）+2，解得f（1）=1或2，
若f（1）=1，則令x₁=1，x₂=x，則有f（x）=f（1）f（x）-f（1）-f（x）+2，即有f（x）=1．
這與當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞2矛盾，故f（x）=1舍去，
若f（1）=2，令x₁=1，x₂=x，則有f（x）=f（1）f（x）-f（1）-f（x）+2恒成立，
故有f（1）=2；
（2）證明：令1＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
由于當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞2，則有f（

x2

x1

）＞2，
則f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）•f（

x2

x1

）-f（x₁）-f（

x2

x1

）+2=f（

x2

x1

）（f（x₁）-1）-f（x₁）+2
＞2f（x₁）-2-f（x₁）+2=f（x₁），
則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）令x₁=x₂=2，則f（4）=f²（2）-2f（2）+2=25-10+2=17，
則不等式f（x）＜17即為f（x）＜f（4），
由f（1）=2，則f（x•

1

x

）=f（x）f（

1

x

）-f（x）-f（

1

x

）+2=2，
即有f（

1

x

）=

f(x)

f(x)-1

，
令0＜x＜1，則

1

x

＞1，f（

1

x

）＞2，解得1＜f（x）＜2，
同（2）可得（0，1）也為增區(qū)間，
故f（x）在（0，+∞）遞增，
則有f（x）＜f（4）得到0＜x＜4．
即解集為（0，4）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用：解不等式，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題和易錯題．