已知f(x)=x3-3x+m,在區(qū)間[0,2]上任取三個不同的數(shù)a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)為邊長的三角形,則m的取值范圍是________.
m>6
分析:三角形的邊長為正數(shù),而且任意兩邊之和大于第三邊才能構(gòu)成三角形,故只需求出函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值與最大值,從而可得不等關(guān)系,即可求解.
解答:f(x)=x3-3x+m,求導(dǎo)f'(x)=3x2-3由f'(x)=0得到x=1或者x=-1,
又x在[0,2]內(nèi),∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞增,
則f(x)min=f(1)=m-2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m.
在[0,2]上任取三個數(shù)a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)為邊的三角形,三個不同的數(shù)a,b,c對應(yīng)的f(a),f(b),f(c)可以有兩個相同.由三角形兩邊之和大于第三邊,可知最小邊長的二倍必須大于最大邊長.
由題意知,f(1)=-2+m>0…(1),
f(1)+f(1)>f(0),得到-4+2m>m…(2),
f(1)+f(1)>f(2),得到-4+2m>2+m…(3),
由(1)(2)(3)得到m>6為所求.
故答案為:m>6.
點評:本題以函數(shù)為載體,考查構(gòu)成三角形的條件,解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值與最大值