Question

把邊長為a的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器（不計接縫），設容器的高為x，容積為V（x）．
（Ⅰ）寫出函數(shù)V（x）的解析式，并求出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求當x為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為----（1分）．
則．-------------------------（3分）
函數(shù)的定義域為．-------------------------（4分）
（Ⅱ）實際問題歸結為求函數(shù)V（x）在區(qū)間上的最大值點．
先求V（x）的極值點．
在開區(qū)間內(nèi)，--------------------（6分）
令V'（x）=0，即令，解得（舍去）．
因為在區(qū)間內(nèi)，x₁可能是極值點．
當0＜x＜x₁時，V'（x）＞0；當時，V'（x）＜0．---------------------（8分）
因此x₁是極大值點，且在區(qū)間內(nèi)，x₁是唯一的極值點，
所以是V（x）的最大值點，并且最大值
即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為．-------------------（10分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)容器的高為x，求得做成的正三棱柱形容器的底邊長，從而可得函數(shù)V（x）的解析式，函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）實際問題歸結為求函數(shù)V（x）在區(qū)間上的最大值點，先求V（x）的極值點，再確定極大值就是最大值即可．
點評：本題考查函數(shù)模型的構建，考查導數(shù)知識的運用，解題的關鍵是求出體積，利用導數(shù)知識求解．單峰函數(shù)，極值就是最值．