Question

（2013•徐州三模）已知一塊半徑為r的殘缺的半圓形材料ABC，O為半圓的圓心，OC=

1

2

r，殘缺部分位于過點(diǎn)C的豎直線的右側(cè)．現(xiàn)要在這塊材料上截出一個(gè)直角三角形，有兩種設(shè)計(jì)方案：如圖甲，以BC為斜邊；如圖乙，直角頂點(diǎn)E在線段OC上，且另一個(gè)頂點(diǎn)D在

AB

上．要使截出的直角三角形的面積最大，應(yīng)該選擇哪一種方案？請(qǐng)說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．

Answer 1

分析：在圖形甲中，BC的長度為

3r

2

，設(shè)出∠DBC=α，把BD和DC都用r和角α表示，利用三角函數(shù)求直角三角形BDC面積的最大值；在圖形乙中，設(shè)出∠DOE=θ，利用平面幾何知識(shí)得到角θ的范圍，把DE和BE用r和θ表示，寫出三角形BED的面積后，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，由單調(diào)性求最值，最后比較兩種情況下面積最大值的大�。�

解答：解：如圖甲，

設(shè)∠DBC=α（0＜α＜

π

2

），
則BD=

3r

2

cosα，DC=

3r

2

sinα，
所以S△BDC=

1

2

BD•DC=

1

2

•

3r

2

cosα•

3r

2

sinα
=

9

16

r2sin2α≤

9

16

r2，
當(dāng)且僅當(dāng)α=

π

4

時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離為

3

4

r，可以保證點(diǎn)D在半圓形材料ABC內(nèi)部，
因此按照?qǐng)D甲方案得到直角三角形的最大面積為

9

16

r2．   
如圖乙，

設(shè)∠EOD=θ，則OE=rcosθ，DE=rsinθ，
所以S△BDE=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，θ∈[

π

3

，

π

2

]．
設(shè)f(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，則f′(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)(2cosθ-1)，
當(dāng)θ∈[

π

3

，

π

2

]時(shí)，f'（θ）≤0，所以θ=

π

3

時(shí)，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，△BDE的面積最大值為

3 3

8

r2． 
因?yàn)?span id="jb46cd6" class="MathJye">

3 3

8

r2＞

9

16

r2，
所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為

3 3

8

r2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，考查了利用三角函數(shù)求幾何圖形的面積，解答此題的關(guān)鍵是把三角形的面積用變量角表示，圖形乙中對(duì)角的范圍的分析不可忽視，此題屬中檔題．