Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=BC=AC=

2

SB=

2

SC，O為BC中點．
（1）求證：SO⊥平面ABC
（2）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為

15

5

？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（1）證明：連接AO，設(shè)SB=a，則 AO=

6

2

a，SO=

2

2

a，
又∵SA=

2

a，∴SO²+OA²=SA²，∴SO⊥OA．
∵SC=SB，∴SO⊥BC．
又∵BC∩OA=O，
∴SO⊥平面ABC．
（2）解：在線段AB上存在一點E是線段AB的中點時，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為

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5

．下面給出證明：
如圖以O(shè)為原點，以O(shè)A，OB，OS所在直線分別為x，y，z軸建系．
則有O（0，0，0），S(0，0，

2

2

a)，C(0，-

2

2

a，0)，B(0，

2

2

a，0)，A(

6

2

a，0，0)．
∴

AB

=(-

6

2

a，

2

2

a，0)，

SC

=(0，-

2

2

a，-

2

2

a)．
假設(shè)存在E，設(shè)

BE

=λ

BA

，則

CE

=

CB

+

BE

=(0，

2

a，0)+(

6

2

aλ，-

2 aλ

2

，0)，
∴

CE

=(

6

2

λa，

2

a-

2

2

aλ，0)．
設(shè)平面SCE的法向量為

n

=(x，y，z)．
由

n • CE =0 n • SC =0

得

6 2 aλx+( 2 a- 2 2 aλ)y=0 - 2 ay 2 - 2 a 2 z=0

，化為

3 λx+(2-λ)y=0 y+z=0

，令y=-1，則z=1，x=

2-λ

3 λ

．
∴

n

=(

2-λ

3 λ

，-1，1)．
平面SBC的法向量為

m

=(1，0，0)，∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2-λ 3λ

( 2-λ 3 λ )2+1+1

=

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，解得λ=

1

2

．
∴當(dāng)E為AB中點時，二面角B-SC-E的平面角的余弦值為

15

5

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩平面的法向量的夾角公式求二面角的余弦值、及勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．