Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=45°，側(cè)面A₁ABB₁是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E、F分別是AB₁、BC的中點(diǎn)．
（1）求證EF∥平面A₁ACC₁；
（2）求EF與側(cè)面A₁ABB₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：E是A₁B中點(diǎn)．連A₁C，所以EF∥A₁C．再根據(jù)線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）作FG⊥AB交AB于G，連EG，可得FG⊥平面A₁ABB₁，即可得到∠FEG是EF與平面A₁ABB₁所成的角，再在△EFG中利用解三角形的有關(guān)知識解決問題即可．

解答：解：（1）證明：∵A₁ABB₁是菱形，E是AB₁中點(diǎn)，
∴E是A₁B中點(diǎn)．
連A₁C，
∵F是BC中點(diǎn)，
∴EF∥A₁C．
∵A₁C?平面A₁ACC₁，EF?平面A₁ACC₁，
∴EF∥平面A₁ACC₁…（4分）
（2）作FG⊥AB交AB于G，連EG，
∵側(cè)面A₁ABB₁⊥平面ABC且交線是AB，
∴FG⊥平面A₁ABB₁，
∴∠FEG是EF與平面A₁ABB₁所成的角
由AB=a，AC⊥BC，∠ABC=45°，得FG=

2

2

FB=

a

4

=BG
由AA₁=AB=a，∠A₁AB=60°，得EG=

3

4

a
∴tan∠FEG=

3

3

，
∴∠FEG=30°
所以EF與側(cè)面A₁ABB₁所成的角為30°．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便熟悉幾何體中的線面關(guān)系，再利用有關(guān)的定理與定義求出線面角．