Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+f（x+2）=0，且f（4-x）=f（x）．現(xiàn)有以下三種敘述：
①8是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；
②f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)；
③f（x）是偶函數(shù)．
其中正確的是（　　）

• A、②③
• B、①②
• C、①③
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）滿(mǎn)足f（x）+f（x+2）=0，將x換成x+2，即可得到f（x+4）=f（x），即可判斷①；
由f（x）滿(mǎn)足f（4-x）=f（x），即有f（2+x）=f（2-x），由對(duì)稱(chēng)性，即可判斷②；
由周期性和對(duì)稱(chēng)性，即可得到f（-x）=f（x），即可判斷③．

解答： 解：對(duì)于①，由于定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+f（x+2）=0，
則f（x+2）=-f（x），即有f（x+4）=-f（x+2），則f（x+4）=f（x），
即4是函數(shù)的最小正周期，故①對(duì)；
對(duì)于②，由于f（x）滿(mǎn)足f（4-x）=f（x），即有f（2+x）=f（2-x），
即f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，故②對(duì)；
對(duì)于③，由于f（4-x）=f（x），即有f（-x）=f（x+4），
又f（x+4）=f（x），則f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數(shù)，故③對(duì)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性、周期性及運(yùn)用，屬于中檔題．