（08年黃岡中學一模文）  (12分) 如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=CB=a , ∠ABC=60°.平面ACEF⊥平面ABCD,且四邊形ACEF是矩形,AF=a.

（I）求證：AC⊥BE；

（II）求二面角B－EF－D的余弦值.

 

解析：（I）∵AB∥CD,AD=DC=CB=a,∴四邊形ABCD是等腰梯形.設AC交BD于N,連EN.

∵∠ABC=60°,∴∠DCB=∠ADC=120°,∠DAC=∠ACD=30°,

∴AC=,AB=2a,=90°.

又四邊形ACEF是矩形，

∴AC⊥平面BCE.∴AC⊥BE.

（II）∵平面ACEF⊥平面ABCD, EC⊥AC,

∴EC⊥面 ABCD,∴EC⊥CD, EC⊥AD,又AF∥CE,

∴AF⊥AD,而AF=CE,AD=CD,

∴Rt△≌Rt△,DE=DF.

過D作DG⊥EF于G,則G為EF的中點,于是EG=.

在Rt△中,,∴.∴.

    設所求二面角大小為,則由及,得,,

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