Question

3．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，若此三棱柱外接球的半徑為13，則該三棱柱的表面積為（　　）

• A． 624
• B． 576
• C． 672
• D． 720

Answer 1

分析 求出AC=10，構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球就是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，由此三棱柱外接球的半徑為13，得到A₁C=2×13=26，從而AA₁=24，由此能求出直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積．

解答 解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{36+64}$=10，
構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球就是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半徑為13，
∴A₁C=2×13=26，∴AA₁=$\sqrt{2{6}^{2}-1{0}^{2}}$=24，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積為：
S=2S_△ABC+${S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}$+${S}_{矩形AB{B}_{1}{A}_{1}}$+${S}_{矩形AC{C}_{1}{A}_{1}}$
=2×$\frac{1}{2}×6×8$+8×24+6×24+10×24
=624．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱柱的表面積的求法，考查直三棱錐及外接球、勾股定理、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推量論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．