Question

過橢圓

x2

2

+

y2

3

=1的下焦點，且與圓x²+y²-3x+y+

3

2

=0相切的直線的斜率是

 

．

Answer 1

分析：根據橢圓的方程，算出橢圓的下焦點為F（-1，0），從而設所求切線方程為y=kx-1，其斜率為k．將題中的圓化成標準方程，得到圓心為C（

3

2

，

1

2

）、半徑r=1，再利用點到直線的距離公式建立關于k的等式，解之即可得到所求切線的斜率k的值．

解答：解：∵橢圓

x2

2

+

y2

3

=1中，a²=3且b²=2，
∴c=

a2-b2

=1，可得橢圓的下焦點為F（-1，0）．
設經過F且與圓x²+y²-3x+y+

3

2

=0相切的直線的斜率為k，
可得切線方程為y=kx-1，即kx-y-1=0．
圓x²+y²-3x+y+

3

2

=0化成標準方程，得（x-

3

2

）²+（y+

1

2

）²=1．
∴圓心為C（

3

2

，

1

2

），半徑r=1．
∴點C到直線kx-y-1=0的距離等于半徑，即

| 3 2 k+ 1 2 -1|

k2+1

=1，
化簡得5k²-6k-3=0，解之得k=

3±2 6

5

，即所求切線的斜率為

3±2 6

5

．
故答案為：

3±2 6

5

點評：本題給出經過橢圓的一個焦點的直線與定圓相切，求切線的斜率．著重考查了橢圓的標準方程與簡單性質、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．