Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（0）=1，g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且g（x）=f（x-1），則f（2011）+f（2012）+f（2013）=

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義得到f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），然后結(jié)合g（x）=f（x-1），靈活變形后求出函數(shù)f（x）的周期，再根據(jù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，得g（0）=0，從而得到f（1）=0，最后把要求的值轉(zhuǎn)化為f（0）和f（1）的值．

解答：解：因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x），g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以g（x）=-g（-x），
由g（x）=f（x-1），取x=x+1，所以f（x）=g（x+1），又g（x）=-g（-x），所以f（x）=-g（-x-1）=-f（-x-2）=-f（x+2），
則f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），所以函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
因?yàn)間（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以g（0）=0，由g（x）=f（x-1），取x=0，得：f（1）=f（-1）=g（0）=0，又f（0）=1，
所以f（2011）+f（2012）+f（2013）=f（-1）+f（0）+f（1）=0+1+0=1．
故答案為1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，考查了如何通過替代自變量的值求函數(shù)的周期，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，考查了學(xué)生的抽象思維能力，此題是中檔題．