Question

如圖，在正方體AC₁中，過(guò)點(diǎn)A作平面A₁BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（ ）
A．點(diǎn)H是△A₁BD的垂心
B．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C₁
C．AH垂直平面CB₁D₁
D．直線AH和BB₁所成角為45°

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)槿�棱錐A-A₁BD是正三棱錐，所以H是正三角形-A₁BD的中心，故A正確；根據(jù)正三棱錐A-A₁BD和正三棱錐C₁-A₁BD的高線都經(jīng)過(guò)H點(diǎn)，結(jié)合垂線的唯一性可得B正確；根據(jù)平面A₁BD∥平面CB₁D₁，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，得到C正確；通過(guò)計(jì)算可得直線AH和BB₁所成角為arcsin，故D不正確．
解答：解：對(duì)于A，因?yàn)槿�棱錐A-A₁BD是正三棱錐，故頂點(diǎn)A在底面的射影是底面正三角形的中心，所以點(diǎn)H是也是△A₁BD的垂心，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)槿�棱錐C₁-A₁BD是正三棱錐，而H是底面的中心，故C₁H是正三棱錐C₁-A₁BD的高線，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)H與平面A₁BD垂直的直線有且只有一條，故A、H、C₁三點(diǎn)共線，即AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C₁，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍭₁BD∥平面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得AH垂直平面CB₁D₁，故C正確；
對(duì)于D，可在正三棱錐A-A₁BD中，算出sin∠A₁AH=，結(jié)合AA₁∥BB₁，可得直線AH和BB₁所成角為arcsin，故D不正確．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體模型，要我們判斷幾個(gè)命題的真假，著重考查了空間的平行與垂直的位置關(guān)系和正三棱錐的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．