Question

已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，-2）、（0，2），曲線C上任意一點(diǎn)P滿足且||-||≠0．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點(diǎn)Q（0，-5），軌跡C上是否存在滿足-=0的M、N兩點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，曲線C上任意一點(diǎn)P滿足，可得曲線C是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，可得a、c的值，進(jìn)而可得b的值，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得斜率不存在時(shí)，顯然不合題意設(shè)過點(diǎn)Q（0，-5），斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線方程為y=kx-5；聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得（4+k²）x²-10kx+9=0，令△≥0，可得k的范圍；假設(shè)在軌跡C上存在兩點(diǎn)M、N，令MQ、NQ的斜率分別為k₁、k₂，根據(jù)題意，可得|k₁|≥，|k₂|≥，顯然不可能滿足k₁k₂=-1；即可得結(jié)論．
解答：解：（1）由已知得：
∴曲線C是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓（去除短軸兩端點(diǎn)），
∵2a=8，a=4，c=2，
∴b²=4，
∴曲線C的方程為（x≠0）；
（2）不存在．
設(shè)過點(diǎn)Q（0，-5），斜率為k的直線方程為y=kx-5（斜率不存在時(shí)，顯然不合題意）
由得：（4+k²）x²-10kx+9=0
由△≥0得k²≥
假設(shè)在軌跡C上存在兩點(diǎn)M、N，令MQ、NQ的斜率分別為k₁、k₂，
則|k₁|≥，|k₂|≥，顯然不可能滿足k₁k₂=-1
∴軌跡C上不存在滿足的兩點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：類似本題的問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，平時(shí)應(yīng)作為重點(diǎn)來復(fù)習(xí)訓(xùn)練．