Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

是奇函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求a的值；  
（2）判斷函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性并證明；
（3）當(dāng)m+n≠0時(shí)，證明

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（0）=0，求得a的值．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，根據(jù)解析式可得它在定義域R上是增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（3）由于函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，故函數(shù)表示的曲線上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于零，故當(dāng)m≠n時(shí)，

f(m)-f(n)

m-n

＞0，換元可得

f(m)-f(-n)

m-(-n)

＞0=f（0），化簡可得不等式成立．

解答：解：（1）∵定義在R上的函數(shù)f(x)=a-

1

2x+1

是奇函數(shù)，
∴f（0）=a-

1

2

=0，∴a=

1

2

．
（2）由（1）可得，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，它在定義域R上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2 x2+1)

，
由題設(shè)可得0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴

2x1-2x2

(2x1+1)(2 x2+1)

＜0，故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）由于函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
故函數(shù)表示的曲線上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于零，
故當(dāng)m≠n時(shí)，

f(m)-f(n)

m-n

＞0，
換元可得

f(m)-f(-n)

m-(-n)

＞0=f（0），
即

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．
∴要證的不等式成立．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明，奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．