Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-x，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，可求出f（x），再求導(dǎo)數(shù)f′（x），求出f（x）在[1，e]上極值及端點(diǎn)處函數(shù)值，取其中最小者即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的定義域，分①a＜0，②a＞0，兩種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f(x)=2lnx-x，則f′(x)=

2

x

-1．                   
令f'（x）=0，得x=2．          
當(dāng)x變化時，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f'（x）		+	0	-
f（x）	-1	↗	極大值	↘	2-e

即函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，e）上單調(diào)遞減．              
因?yàn)閒（1）＜f（e），
所以當(dāng)x=1時，f（x）在區(qū)間[1，e]上有最小值-1．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=alnx-x的定義域?yàn)椋?，+∞）．    
求導(dǎo)，得f′(x)=

a

x

-1=

a-x

x

．                     
①當(dāng)a＜0時，由x＞0，得f′(x)=

a-x

x

＜0．
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；  
②當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x=a．                    
當(dāng)x變化時，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

即函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．