Question

數(shù)列{a_n} 中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不為零的常數(shù)，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）求{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明數(shù)列{

an-c

n

}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用遞推關(guān)系式求出a₁，a₂，a₃關(guān)于c的表達(dá)式，再結(jié)合a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列即可求c的值；
（Ⅱ）先利用遞推關(guān)系式求出a_n-a_n-1=（n-1）c，再利用疊加法得an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c；把（Ⅰ）的結(jié)論代入整理后即可求得{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）把前兩問的結(jié)論相結(jié)合求出數(shù)列{

an-c

n

}的表達(dá)式，再利用等差數(shù)列的定義證明即可．

解答：解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因?yàn)閍₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．
故c=2；（5分）
（II）當(dāng)n≥2時(shí)，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）；（5分）
（Ⅲ）bn=

an-c

n

=n-1；b_n+1=n．b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{

an-c

n

}是等差數(shù)列．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式以及等差關(guān)系的確定問題．是對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．解決第二問的關(guān)鍵在于求數(shù)列通項(xiàng)中疊加法的應(yīng)用．