Question

如果

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ存在，那么x的取值范圍是（　�。�

• A、0≤x＜1
• B、0＜x＜1
• C、0≤x≤1
• D、0＜x≤1

Answer 1

考點：數列的極限

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據極限的概念，及指數函數圖象特點，很容易知道應該這樣對x限制：-1＜2x+1≤1，解出即可．

解答： 解：（1）若0＜1-2x＜1，即0＜x＜

1

2

時，根據對數函數y=a^x，在0＜a＜1時，隨著x的增大，函數圖象無限接近0，所以對于

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0；
（2）若1-2x=1，即x=0時，則

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=1；
（3）若1-2x=0，即x=

1

2

時，則

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0；
（4）若1-2x＞1，則根據對數函數y=a^x，在a＞1時，隨x的增大，函數圖象向上無限延伸，函數值無限增大，所以，此時不存在極限；
（5）若-1＜1-2x＜0，即

1

2

＜x＜1時，若n無限增大趨向一個偶數，則

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0，n無限增大趨向一個奇數時，

lim

n→∞

（1-2x）ⁿ=0；
（6）若2x+1=-1，（2x+1）ⁿ是1和-1間隔出現的，所以不存在．
（7）若2x+1＜-1，n趨于無窮大的偶數時，（2x+1）ⁿ趨于正無窮大，n趨于無窮大的奇數時，（2x+1）ⁿ趨于負無窮大，所以不存在極限．
綜上可得，x的取值范圍是0≤x＜1．
故選：A

點評：本題極限的概念，和指數函數圖象特點．考查分類討論思想的應用．