Question

1．已知$\overrightarrow{u}$=（x，y）與向量$\overrightarrow{v}$=（y，2y-x）的對(duì)應(yīng)關(guān)系用$\overrightarrow{v}$=f（$\overrightarrow{u}$）表示．
（1）證明：對(duì)于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$及常數(shù)m、n，恒有f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow$）成立．
（2）設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow$=（1，0），求向量f（$\overrightarrow{a}$）及f（$\overrightarrow$）的坐標(biāo)．
（3）求使f（$\overrightarrow{c}$）=（3，5）成立的向量$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出任意向量的坐標(biāo)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$分別計(jì)算要證等式的左邊的右邊，比較計(jì)算結(jié)果可得等式成立
（2）直接利用題中的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出 f（$\overrightarrow{a}$）=（1，2-1）=（1，1），f（$\overrightarrow$）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（3）設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），則 f（$\overrightarrow{a}$）=（y，2y-x）得到方程組，解得即可．

解答 （1）設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），
∴m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂ ），
∴f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$）=（my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow$）=m（y₁，2y₁-x₁ ）+n（y₂，2y₂-x₂ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴對(duì)于任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$及常數(shù)m、n，恒有f（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$）=mf（$\overrightarrow{a}$）+nf（$\overrightarrow$）成立，
（2）f（$\overrightarrow{a}$）=（1，2-1）=（1，1），f（$\overrightarrow$）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（3）設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），則 f（$\overrightarrow{a}$）=（y，2y-x），∴$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{2y-x=5}\end{array}\right.$，
∴x=1，y=3，∴$\overrightarrow{c}$（1，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，以及用待定系數(shù)法求向量的坐標(biāo)．