Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

． 
（1）證明：函數(shù)f（x）是減函數(shù)；   
（2）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（2）利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）在定義域中任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

-（-

1

2

+

1

2x2+1

）
=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因?yàn)閤₁＜x₂
所有2x2-2x1＞0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
所有f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
（2）因?yàn)閒（x）的定義域是R，
又因?yàn)閒（-x）=-

1

2

+

1

2-x+1

=

(2x+1)-2

2(2x+1)

=

1

2

-

1

2x+1

=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．