Question

素材1：設拋物線y²=2px(p＞0)的焦點為F,AB過焦點F且不垂直于x軸;

素材2：線段AB的垂直平分線l交x軸于N點.

試根據上述素材構建一個問題，然后再解答.

Answer 1

構建問題：拋物線y²=2px(p＞0)的焦點為F，AB是過焦點F，且不垂直于x軸的一條弦，線段AB的垂直平分線l交x軸于點N,試證明|AB|=2|FN|.

證明：設點M為弦AB的中點，分別過A、B、M作拋物線準線的垂線，垂足為C、D、E.

∵AB為焦點弦，據拋物線定義及梯形的中位線性質，有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|ME|.

要證|AB|=2|FN|，只要證|ME|=|FN|.

又EM∥FN，

∴只要證EF∥MN，即可得四邊形EFNM為平行四邊形，從而有|EM|=|FN|.∵MN⊥AB,下證EF⊥AB.

設點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、M(x₀,y₀),則y₁+y₂=2y₀.

∵y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,兩式相減，得y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),∴,即k_AB=.

又點E（-,y₀）、F(,0),∴k_EF=.

∴k_AB·k_EF==-1.

∴AB⊥EF成立.

綜上分析，|AB|=2|FN|.