已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=0，x=4處取得極值，且極小值為-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函數(shù)f（x）圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為k，當(dāng)k≥-1恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】分析：（I）通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）在x=0，x=4處取得極值，就是x=0，x=4時(shí)導(dǎo)數(shù)為0，求出a，利用極小值為-1，求出b，可得f（x）的解析式；
（II）x∈[0，1]，函數(shù)f（x）圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為k，k≥-1恒成立，就是導(dǎo)函數(shù)的值域大于-1恒成立，再用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（I）由f′（x）=-3x2+2ax得
∴得a=6．（3分）
當(dāng)x＜0，f′（x）＜0．當(dāng)0＜x＜4時(shí)，f′（x）＞0．
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）達(dá)到極小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x3+6x2-1；（6分）
（II）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，
k=f′（x）=-3x2+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x2-2ax-1≤0
對一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需即a≥1．
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．（12分）
點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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