Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤＜).

(Ⅰ)把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線C的形狀；

(Ⅱ)若直線經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，求直線被曲線C截得的線段AB的長.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），曲線C是頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為的拋物線；(Ⅱ)8.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系得直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)方法1：由已知條件求直線的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，得關(guān)于參數(shù)的二次方程，可利用求得長度；方法2：先把直線的方程化為普通方程，再與曲線C聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)，既得所求.

試題解析：（Ⅰ）方程兩邊同乘，得，把代入上式，得

，這就是曲線C的直角坐標(biāo)方程，曲線C是頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為的拋物線.     3分

（Ⅱ）方法1：直線（為參數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，若直線又經(jīng)過點(diǎn)，則

，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線C的方程

，得整理得. ①

設(shè)直線與曲線C的交點(diǎn)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，于是，直線被曲線C截得的線段AB的長為.       7分

方法2：設(shè)直線的普通方程為，若直線經(jīng)過點(diǎn)，則，即，

的方程為，解方程組，得或，即A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，于是直線被曲線C截得的線段AB的長為

.         7分

考點(diǎn)：1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；2、參數(shù)方程；3、直線被曲線所截線段的求法.