Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=2，|

b

|=1，其夾角為120°．若對向量滿足（

m

-

a

）•（

m

-

b

）=0，則|

m

|的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)

OB

=

b

，

OA

=

a

，由向量

a

，

b

滿足|

a

|=2，|

b

|=1，其夾角為120°．可得

a

=(-1，

3

)，

b

=（1，0）．設(shè)

m

=（x，y），利用（

m

-

a

）•（

m

-

b

）=0，可得x2+(y-

3

2

)2=

7

4

，可得圓心C(0，

3

2

)，半徑r=

7

2

．即可得出|

m

|的最大值=|OC|+r．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)

OB

=

b

，

OA

=

a

，
∵向量

a

，

b

滿足|

a

|=2，|

b

|=1，其夾角為120°．
∴

a

=(-1，

3

)，

b

=（1，0）．
設(shè)

m

=（x，y），
∵（

m

-

a

）•（

m

-

b

）=0，
∴(x+1，y-

3

)•(x-1，y)=x2-1+y2-

3

y=0，
∴x2+(y-

3

2

)2=

7

4

，
可得圓心C(0，

3

2

)，半徑r=

7

2

．
∴|

m

|的最大值=|OC|+r=

3 + 7

2

．
故答案為：

3 + 7

2

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．