Question

（2013•南通二模）選修4-2：矩陣與變換
設(shè)曲線2x²+2xy+y²=1在矩陣M=

m 0 n 1

（m＞0）對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x²+y²=1，求矩陣M的逆矩陣M^-1．

Answer 1

分析：確定點(diǎn)在矩陣M=

m 0 n 1

(m＞0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用變換前后的方程，即可求得矩陣M；再求出對(duì)應(yīng)行列式的值，即可得到M的逆矩陣．

解答：解：設(shè)曲線2x²+2xy+y²=1上任一點(diǎn)P（x，y）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下的像是P'（x'，y'），
由

x′ y′

=

m 0 n 1

x y

=

mx nx+y

，得

x′=mx y′=nx+y

因?yàn)镻'（x'，y'）在圓x²+y²=1上，所以（mx）²+（nx+y）²=1，化簡(jiǎn)可得（m²+n²）x²+2nxy+y²=1．…（3分）
依題意可得m²+n²=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1，
而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）
故M=

1 0 1 1

，
故矩陣M的逆矩陣M^-1=

1 0 -1 1

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣與變換，考查逆矩陣的求法，確定變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．