Question

橢圓

x2

4

+y2=1的兩個焦點為F1，F2，點M在橢圓上，

MF1

•

MF2

等于-2，則△F₁MF₂的面積等于（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：根據橢圓方程，算出橢圓的焦點為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，從而得到向量

MF1

、

MF2

的坐標．設點M坐標為（m，n），根據

MF1

•

MF2

=-2建立關于m、n的一個方程，由點M在橢圓上得到關于m、n的另一個方程，兩個方程聯解即可得到n=±1，由此結合橢圓的焦距|F₁F₂|=2

3

，即可算出△F₁MF₂的面積的值．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

4

+y2=1，
∴a²=4，b²=1，可得c=

a2-b2

=

3

因此，橢圓的焦點為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
設橢圓上的點M坐標為（m，n），可得

m2

4

+n2=1…①
∵

MF1

=(-

3

-m，-n)，

MF2

=(

3

-m，-n)，

MF1

•

MF2

=-2
∴（-

3

-m）•（

3

-m）+（-n）•（-n）=-2，化簡得m²+n²=1…②
聯解①②，得m²=0且n²=1，可得M（0，±1）
∴△F₁MF₂的面積等于S=

1

2

•|F₁F₂|•|n|=

1

2

×2

3

×1=

3

故選：D

點評：本題給出橢圓上一點M，在已知數量積

MF1

•

MF2

=-2的情況下求△F₁MF₂的面積，著重考查了平面向量的數量積公式、橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識點，屬于中檔題．