設雙曲線C的中心在原點,它的右焦點是拋物線的焦點,且該點到雙曲線的一條準線的距離為
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設直線l:y=kx+1與雙曲線C交于兩點A、B,試問:
(1)當k為何值時,以AB為直徑的圓過原點;
(2)是否存在這樣的實數(shù)k,使A、B關于直線y=ax對稱(a為常數(shù)),若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(I)求出拋物線的焦點坐標,求出雙曲線的準線方程,利用雙曲線中a,b,c的關系求出雙曲線方程.
(II)(1)將直線與雙曲線方程聯(lián)立,利用韋達定理得到兩交點坐標滿足的條件;注意判別式大于0求出斜率的范圍;
將以AB為直徑的圓過原點轉(zhuǎn)化為OA⊥OB即,將韋達定理代入向量等式求出k.
(2)利用兩點關于直線對稱滿足兩點的中點在直線上;兩點連線與對稱軸垂直列出方程組,將韋達定理代入得到a,k關系.判斷出是否存在.
解答:解:(Ⅰ)∵拋物線的焦點為,(1分)
∴設中心在原點,右焦點為的雙曲線C的方程為
到雙曲線的一條準線的距離為
.(2分)
.∴.(3分)
∴雙曲線C的方程為3x2-y2=1.(4分)
(Ⅱ)(1)由得(3-k2)x2-2kx-2=0.(5分)
.①(7分)
設A(x1,y1),B(x2,y2).
∵OA⊥OB,∴y2y1+x2x1=0,y1=kx1+1,y2=kx2+1.(9分)
∴(kx1+1)(kx2+1)+x1x2=0.即x1x2(1+k2)+k(x1+x2)+1=0.②
,,代入②,解得k=±1,滿足①.
∴k=±1時,以AB為直徑的圓過原點.(10分)
(2)假設存在實數(shù)k,使A、B關于直線y=ax對稱(a為常數(shù)),
由④、⑤得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2.(12分)
代入上式,得2ak=6,∴ak=3.與③矛盾.(13分)
∴不存在實數(shù)k,使A、B關于直線y=ax對稱.(14分)
點評:本題考查雙曲線中參數(shù)a,b,c的關系、考查解決直線與圓錐曲線的位置關系常將它們的方程聯(lián)立,利用韋達定理處理、
處理兩點關于直線對稱的問題常借用兩點的中點在對稱軸上;兩點連線與對稱軸垂直.
練習冊系列答案
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設雙曲線C的中心在原點,它的右焦點是拋物線y2=
8
3
3
x
的焦點,且該點到雙曲線的一條準線的距離為
3
2

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設直線l:y=kx+1與雙曲線C交于兩點A、B,試問:當k為何值時,以AB為直徑的圓過原點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設雙曲線C的中心在原點,以拋物線y2=2
3
x-4
的頂點為雙曲線的右焦點,拋物線的準線為雙曲線的右準線.
(1)試求雙曲線C的方程;
(2)設直線l:y=2x+1與雙曲線C交于A、B兩點,求|AB|;
(3)對于直線L:y=kx+1,是否存在這樣的實數(shù)k,使直線L與雙曲線C的交點A、B關于直線y=ax(a為常數(shù))對稱,若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

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設雙曲線C的中心在原點,它的右焦點是拋物線y2=
8
3
3
x
的焦點,且該點到雙曲線的一條準線的距離為
3
2

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設直線l:y=kx+1與雙曲線C交于兩點A、B,試問:
(1)當k為何值時,以AB為直徑的圓過原點;
(2)是否存在這樣的實數(shù)k,使A、B關于直線y=ax對稱(a為常數(shù)),若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2008年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設雙曲線C的中心在原點,它的右焦點是拋物線的焦點,且該點到雙曲線的一條準線的距離為
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設直線l:y=kx+1與雙曲線C交于兩點A、B,試問:當k為何值時,以AB為直徑的圓過原點.

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