Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為棱AD，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求證：B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．

Answer 1

分析 （1）欲證EF∥平面CB₁D₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB₁D₁內(nèi)一直線平行，連接BD，根據(jù)中位線可知EF∥BD，則EF∥B₁D₁，又B₁D₁?平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面CB₁D₁內(nèi)一直線與平面CAA₁C₁垂直，而AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，則AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，滿足線面垂直的判定定理則B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（1）連接BD，
因?yàn)檎�方體，所以BB₁∥DD₁，所以四邊形BDD₁B₁為平行四邊形，
所以BD∥B₁D₁，
因?yàn)镋F∥BD，由平行線傳遞性得：EF∥B₁D₁，
因?yàn)锽₁D₁?面CB₁D₁，EF?面CB₁D₁，
所以EF∥平面CB₁D₁．（6分）
（2）因?yàn)樵谡�方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B(niǎo)₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
所以AA₁⊥B₁D₁．（10分）
又因?yàn)樵谡�方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
所以B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力和基本定理的掌握能力，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．