Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，求f（2）的值．

Answer 1

分析：先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，在x=1處有極值10，可得到兩個(gè)關(guān)系式

f′(1)=0 f(1)=10

，求出a，b，一定要注意f′（x）=0的x的左、右附近導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的改變，進(jìn)行驗(yàn)證．

解答：解：由題意，f′（x）=3x²+2ax+b，則

f′(1)=0 f(1)=10

，
即

3+2a+b=0 1+a+b+a2=10

，∴

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

，
此時(shí)當(dāng)

a=4 b=-11

時(shí)，f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0，∴在x=1處有極值，
∴f（2）=18．
當(dāng)

a=-3 b=3

時(shí)，f′（x）=3（x-1）²，顯然在x=1處無極值，
綜上，f（2）=18．

點(diǎn)評：極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)與x軸相交，要注意驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)為0處左右的函數(shù)的單調(diào)性．f′（x）=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件．因此，涉及到極值問題的研究一定要注意f′（x）=0的x的左、右附近導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的改變．