Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程．
（2）求m的取值范圍．
（3）當(dāng)m=1時(shí)，求弦長|AB|的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），則
∵離心率為，∴a²=4b²①
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（4，1），∴②
由①②可得a²=20，b²=5
∴橢圓的方程為；
（2）將直線l：y=x+m代入橢圓，消去y可得5x²+8mx+4m²-20=0
∵直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點(diǎn)
∴△=64m²-20（4m²-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，直線y=x+1代入橢圓方程，消去y整理得5x²+8x-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
∴|AB|=|x₁-x₂|===．
分析：（1）設(shè)出橢圓方程，利用離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1），建立方程，求出幾何量，即可求橢圓的方程．
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式可得結(jié)論；
（3）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可求弦長|AB|的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．