Question

已知圓C：（x-2）²+（y-2）²=1，直線l過(guò)定點(diǎn)A（1，0）
（1）若直線l平分圓的周長(zhǎng)，求直線l的方程；
（2）若直線l與圓相切，求直線l的方程；
（3）若直線l與圓C交于PQ兩點(diǎn)，求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）若直線l平分圓的周長(zhǎng)，直線l過(guò)（2，2），利用直線l過(guò)定點(diǎn)A（1，0），可求直線l的方程；
（2）若直線l與圓相切，分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求直線l的方程；
（3）若直線l與圓C交于PQ兩點(diǎn)，△CPQ面積取最大值，∠PCQ=90°，d=

2

2

，即可求此時(shí)的直線方程．

解答： 解：（1）∵直線l平分圓的周長(zhǎng)，
∴直線l過(guò)（2，2），
∵直線l過(guò)定點(diǎn)A（1，0），
∴直線l的方程為y-0=

2-0

2-1

（x-1），即2x-y-2=0；
（2）斜率不存在時(shí)，x=1，滿足題意；
斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∴

|k-2|

k2+1

=1，∴k=

3

4

，
∴直線l的方程為3x-4y-3=0．
綜上所述，直線l的方程為x=1或3x-4y-3=0；
（3）S△CPQ=

1

2

CP•CQ•sin∠PCQ=

1

2

sin∠PCQ≤

1

2

，
“=”成立時(shí)，∠PCQ=90°，∴d=

2

2

，
由題意，直線l斜率存在，∴設(shè)l方程為y=k（x-1），
可得

|k-2|

k2+1

=

2

2

，解得k=1或7，
∴所求方程為y=x-1或y=7x-7…16

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．