Question

已知函數(shù)f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），則ab+a+b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：f（x）是一個(gè)對(duì)稱軸為 x=-1 拋物線，然后把 x軸下方的圖形關(guān)于x軸翻折上去，設(shè)這個(gè)圖形與x軸交點(diǎn)分別為x₁，x₂，那么必然有-3＜a＜x₁＜b＜-1，可求出b-a的范圍，而ab+a+b=ab+1-

a2+b2

2

=1-

(b-a)2

2

，即可求出所求．

解答：解：f（x）=|x²+2x-1|=|（x+1）²-2|，
這是一個(gè)對(duì)稱軸為 x=-1 拋物線，然后把 x軸下方的圖形關(guān)于x軸翻折上去，
設(shè)這個(gè)圖形與x軸交點(diǎn)分別為x₁，x₂（x₁＜x₂）
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=-1時(shí)取得，f（-1）=2
解方程 f（x）=|x²+2x-1|=2，可以算出x=-3或者1
那么必然有-3＜a＜x₁＜b＜-1，
若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），此時(shí)a²+2a-1＞0，b²+2b-1＜0
那么有a²+2a-1=-（b²+2b-1）
解得：a+b=1-

a2+b2

2

ab+a+b=ab+1-

a2+b2

2

=1-

(b-a)2

2

判斷a-b的取值范圍，顯然  0＜b-a＜（-1）-（-3）=2
那么   0＜（b-a）²＜4
-1＜1-（b-a）²/2＜1
即：-1＜ab+a+b＜1
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了分析問題的能力，計(jì)算能力，討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．