Question

如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn)．求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)推論3及公理2可知，兩條平行直線AB和CD可以確定一個平面ABCD，并且平面ABCD與平面α的所有的公共點應(yīng)該在一條直線上，根據(jù)題意，這些公共點即E，G，H，F(xiàn)四點，所以這四點必定共線．
解答：解：∵AB∥CD，
∴AB，CD確定一個平面β．
又∵AB∩α=E，AB?β，∴E∈α，E∈β，
即E為平面α與β的一個公共點．
同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點．
∵兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，
∴E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．
點評：在立體幾何的問題中，證明若干點共線時，常運用公理2，即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論．